Logica Digital
Es la parte de la electronica que estudia el comportamiento de los circuitos digitales, basandose en el algebra de Boole y los circuitos de puertas logicas.
En la logica digital se trabaja con dos niveles de tension, donde el nivel mas alto corresponde con un 1 logico y el nivel mas bajo con un 0 logico.
Tambien se pueden denotar como si y no, y V (verdadero) y F (falso) respectivamente.
Lo que comunmente en logica es verdadero o falso, en la logica binaria o digital lo vemos representado mendiante digitos utilizando exclusivamente los valores 1 y 0, numeros que de por si no tienen un valor numerico de tipo Real, sino mas bien de tipo discreto, es decir, 0 y 1 representan distintos estados del objeto de estudio, por ejemplo, a la hora de poder desarrollar un circuito digital.
Algebra de Boole
Tambien llamada algebra booleana, en informatica y matematicas es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones logicas.
Historia:
Se denomina asi en honor a George Boole ( 2 de Noviembre de 1815 a 8 de Diciembre de 1864), matematico ingles autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema logico, inicialmente en un pequeño folleto.
The Mathematical Analysis Of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir Willian Rowan Hamilton. El algebra de Boole fue un intento de utilizar las tecnicas algebraicas para tratar expresiones de logica proposicional. Mas tarde fue extendido como un libro: An Investigation of the Laws Of Thought On Wich are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (tambien conocido como An Investigation of the Laws of Thought o simplemente The Laws of Thought) publicado en 1854.
En la actualidad el algebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ambito del diseño electronico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutacion electrica biestables, en 1948.
Esta logica se puede aplicar dos campos:
George Boole, Matematico, 1815-1864
- Al analisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.
- Al diseño, ya que teniendo una funcion aplicamos dicha algebra, para poder desarrollar una implementacion de la funcion.
Claude Elwood Shannon
Claude Elwood shannon (30 de Abril de 1916, Petoskey, Estados Unidos-24 de Febrero de 2001, Medford,Estados Unidos) fue un matematico, ingeniero electrico y criptografo estadounidense recordado como "el padre de la teoria de la informacion".
Claude Elwood Shannon, Matematico, 1916-2001
Circuito logico
Es un circuito electronico destinado a realizar una serie de operaciones, basadas en valores discretos (logicos) de tension, para obtener tambien un resultado del mismo tipo.
Las señales logicas se aplican mediante elementos de entrada, como pueden ser pulsadores, interruptores, etc, o señalas provenientes de otros circuitos logicos. Se pueden utilizar diodos LED, lamparas, reles, etc.
Recuerda:
El circuito logico debe ser alimentado desde una fuente de tension, aunque no suele representarse en los esquemas.
Recuerda:
El circuito logico debe ser alimentado desde una fuente de tension, aunque no suele representarse en los esquemas.
Circuito logico
Variables logicas
Una variable es un elemento del circuito que puede cambiar de valor. En el caso de las variables logicas, solamente es posible almacenar dos valores:
el 1 o el 0.
Los circuitos logicos disponen de variables de entrada y variables de salida. Las entradas se identifican mediante las letras del abecedario: A, B, C..., etc.
Y las salidas mediante Q1, Q2, Q3,... etc.
Simbolo Entrada logica
Simbolo Salida logica
Tabla de la verdad
Es una forma grafica de representar el estado de las variables de salida de un circuito logico, en funcion del estado que se encuentren las entradas.
En una tabla de la verdad deben contemplarse todas las combinaciones posibles que puedan existir entre las variables de entrada. Asi, para calcular el numero de combinaciones posibles, se toma la base del sistema de numeracion en el que se esta trabajando, y se eleva al numero de variables que se van a utilizar. El resultado es el numero de combinaciones que se pueden conseguir entre las entradas sin que se repitan.
Los valores de ceros y unos de las filas corresponden al numero de orden en decimal codificado en binario, siendo el numero mas bajo el que esta en la fila superior y el mas alto en la fila inferior.
Tablas de la verdad de dos, tres y cuatro variables
Recuerda:
Una forma rapida y simple de ordenar las filas de una tabla de la verdad consiste en hacer lo siguiente:
- Calcula el numero de posibilidades en funcion del numero de variables.
- Completa la columna de la variable que esta mas a la derecha, alternando en cada fila un 0 y un 1.
- Completa hacia la derecha las siguientes columnas, poniendo de forma contigua el doble de unos y ceros que la columna anterior.
Metodo de crear a "mano" tablas de la verdad
Funciones logicas
Las funciones logicas son operaciones del algebra de Boole que permiten obtener un resultado sobre una salida en funcion de los estados de sus entradas.
Las funciones logicas mas conocidas por su denominacion en ingles: AND, OR, etc, aunque tambien es posible utilizarlas por su traduccion al castellano, Y, O, etc.
- Funcion directa Tambien denominada funcion igualdad o funcion SI. Es el equivalente a un interruptor normalmente abierto de un circuito electrico. En electronica esta funcion es un amplificador o buffer.
- Funcion NOT (NO o negacion) Es la operacion inversa a la anterior, y es equivalente a utilizar un contacto normalmente cerrado en reposo.
- Funcion AND (Y) Tambien denominada operacion producto, tiene un comportamiento similar a interruptores de serie.
- Funcion OR (O) Tambien conocida como operacion suma, es equivalente a interruptores en paralelo.
- Funcion NAND (NO Y) Es la funcion inversa a la funcion AND. El simbolo es parecido al de esta, pero con una negociacion en su salida. Su comportamiento es similar a dos pulsadores en paralelo normalmente cerrados.
- Funcion NOR (NO O) Es la funcion inversa de la funcion OR.
- Funcion XOR (O exclusiva) Se representa con el simbolo de suma directa ⊕. Su funcionamiento es equivalente a un circuito conmutado. El resultado desarrollado de esta funcion es:
Q= A ⊕ B = ĀB+AB
- Funcion NXOR (NO O exclusiva) Es la funcion inversa a la funcion XOR.
Funciones logicas
Funciones de mas de dos entradas
Las funciones logicas pueden disponer de mas de dos entradas. En estos casos, al simbolo logico se le añaden las lineas necesarias de entrada. La tabla de la verdad se debe construir con todas las posibles combinaciones que existen, y en la ecuacion logica se representan las operaciones con todas las variables.
Una puerta logica de tres o mas entradas puede construirse conectando en cascada puertas de dos entradas.
Representacion de una puerta logica de tres entradas
Obtencion de ecuaciones logicas a partir del circuito
Para obtener la ecuacion logica resultante de un circuito, se lee el esquema de izquierda a derecha, escribiendo el resultado logico que se va acumulando en cada bloque. De esta forma, se consigue el valor de la funcion sin dar lugar a errores.
Ejemplo de la obtencion de una ecuacion logica a partir de un circuito
Tabla de la verdad a partir de una ecuacion logica
Para conseguir una tabla de la verdad partiendo de una expresion booleana o ecuacuion logica, lo que hay que hacer es sustituir el valor que tiene cada una de las variables en la fila de la tabla de la verdad y operar con ellas matematicamente.
Por ejemplo utilizemos la siguiente ecuacion logica:
Ejemplo de tabla de la verdad a partir de una ecuacion logica
Recuerda:
Propiedades del algebra de Boole:
1+0=0
1+1=1
1.1=1
0.1=0
A+A=A
A.A=A
=
A=A
A+Ā=1
A.Ā=0
Saber mas
La negacion de las variables tambien se puede expresar con el simbolo del apostrofe:
A ' = Ā
Los numeros de 8 bits se denominan bytes.
Los numeros de 16 bits se denominan words.
Ecuacion logica a partir de tabla de la verdad
Partiendo de una tabla de la verdad, es posible obtener su expresion logica y con ella el circuito logico correspondiente. Se deben tener en cuenta las filas en las que la salida Q esta a 1 o las filas en las que Q esta a 0.
Si se eligen las filas donde Q=1, cada una de ellas se saca el producto de sus variables, teniendo en cuenta el signo (1: no negada y 0: negada). Cada uno de estos terminos recibe el nombre de "termino minimo" o "minterm" y la expresion final es el resultado de sumar dichos terminos. Es decir, se realiza una suma de productos.
Ecuacion logica a partir de los terminos minimos de una tabla de la verdad
Si por el contrario, lo que se elige son las filas en las que Q=0, las variables deben operar en formato de suma, pero invirtiendo el signo respecto a la tabla de la verdad, es decir donde hay un 0, la variable debe estar sin negar y donde hay un 1 la variable estar negada. Cada uno de estos resultados recibe el nombre de "termino maximo" o "maxterm", y la expresion resultante es el producto de todos ellos. Es decir, se realiza un producto de sumas, con los signos de las variables cambiados respecto a la tabla de la verdad.
Ecuacion logica a partir de los terminos maximos de una tabla de la verdad
En ocasiones, para sintetizar las ecuaciones basadas en terminos minimos o en terminos maximos, se suele utilizar expresiones abreviadas, en las que solamente se indica el numero de orden de la fila, que es en realidad el numero de su codificacion en binario que forman las varaiables. Asi, para indicar que es una suma de productos, se utiliza el signo sumatorio (Σ), y para indicar que es un producto de sumas el signo productorio (π). En ambos casos, el numero que aparece debajo de ellos es el numero de variables de entrada de que utiliza la expresion logica.
Saber mas:
Forma abreviada de la ecuacion minterms:
Q = Σ3 (0, 1, 3, 7)
Forma abreviada de la ecuacion de maxterms:
Q = π3 (2, 4, 5, 6)
Simplificacion de ecuaciones logicas
El uso de terminos maximos o terminos minimos es una buena forma de obtener una expresion logica a partir de una tabla de la verdad. No obstante, la ecuacion resultante puede resultar excesivamente larga. En ocasiones, dicha ecuacion se puede simplificar y obtener asi otra mucha mas corta pero completamente equivalente y con el mismo resultado logico.
Por ejemplo: _ _ _
Q = (Ā.B.C)+(Ā.B.C)+(Ā.B.C)+(A+B+C)
_
Q = (Ā.B)+(B.C)
Existen varios metodos para simplificar ecuaciones logicas, no obstante, el mas utilizado y mas sencillo de implementar es el denominado "simplificacion mediante mapas de Karnaugh".
Simplificacion de con mapas de Karnaugh
Es un metodo grafico que permite simplificar con facilidad sistemas de hasta cuatro variables.
Lo primero es realizar el mapa o tabla, en el que se representen todas las posibilidades de combinacion entre las variables. De esta forma, si se dispone de dos variables, la tabla tiene cuatro celdas; si se dispone de tres variables, ocho celdas, y si es de cuatro, dieciseis celdas.
Mapas de Karnaugh de dos, tres y cuatro variables
Si se toma como ejemplo el mapa de Karnaugh de cuatro variables, dos de ellas se colocan en horizontal y las otras dos en vertical. El orden de dos en dos de estas variables se hace de la siguiente forma: 00-01-11-10, en la que se observa que el cambio de valor entre columnas (o filas cuando corresponda) se hace haciendo coincidir el valor de la variable de la columna anterior. De esta forma, si se lee la consecucion de variables, se debe comprobar que las variables que unen las columnas (o filas) deben coincidir en valor. Esto es debido a que utilizan un codigo de numeracion denominado Grey, que atiende a dicho patron.
Recuerda:
Al elaborar los mapas de Karnaugh, es aconsejable escribir en la celda el numero en decimal que corresponde con su codificacion en binario. De esta forma, sera mucho mas sencillo y rapido ubicar los valores de la salida desde la tabla de la verdad.
Los mapas de Karnaugh se pueden utilizar tambien para resolver sistemas de mas de cuatro variables.
Maurice Karnaugh
Nacido el 4 de Octubre de 1924 en Nueva York, Estados Unidos.
Es un fisico y matematico estadounidense, mejor conocido por el mapa de Karnaugh utilizado en el algebra de Boole.
Estudio matematicas y fisica en el City College of New York (1944-1948) y se transfirio a la Universidad de Yale para completar su licenciatura (1949), Master en Ciencias (1950) y Doctor en Filosofia en Fisica con una tesis sobre La Teoria de la Resonancia Magnetica y duplicacion de Tipo-Lambda en OxidoNitrico (1952).
Karnaugh trabajo en los Laboratorios Bell (1952-1966), desarrollando el mapa de Karnaugh (1954), asi como las patentes para la codificacion PCM; modulacion por impulsos codificados (MIC o PCM en ingles Pulse Code Modulation) es un procedimiento de modulacion utilizado para transformar una señal analogica en una secuencial de bits (señal digital), metodo inventado por el ingeniero britanico Alec Reeves en 1937 y que es la forma estandar de audio digital en computadoras, discos compactos, telefonia digital y otras aplicaciones similares.
Tambien trabajo en la codificacion de circuitos logicos magneticos.
Mas tarde trabajo en la Division Federal de Sistemas de IBM en Gaithersburg (1966-1970) y en el Centro de Investigaciones Thomas J. Watson de IBM (1970-1989), estudiando las redes de interconexion multietapas.
Karnaugh fue elegido Fellow de IEEE (Instituto de Ingenieria Electrica y Electronica; en ingles Institute of Electrical and Electronics Engineers) en 1976, y ocupo un cargo adjunto en la Universidad Politecnica de Nueva York en el campus Westchester (1980-1999).
Maurice Karnaugh 1924-
Frank Gray
Alpine, Indiana, 13 de Septiembre de 1887-23 de Mayo de 1969.
Fue un fisico e investigador en los Laboratorios Bell. Hizo numerosas innovaciones mecanicas y electronicas en la television. Famoso por el codigo Gray.
El Codigo Gray es un Sistema Binario usado en electronica pero con muchas aplicaciones en matematicas.
Cumplio un importante papel en el desarrollo de la television y sus sistemas en 1927.
Frank Gray; 13 de Septiembre de 1887 - 23 de Mayo de 1969
Codigo Gray
El codigo binario reflejado o codigo Gray, nombrado asi en honor del investigador Frank Gray, es un sistema de numeracion binario en el que dos palabras consecutivas difieren solamente en uno de sus digitos.
El codigo Gray fue diseñado originalmente para prevenir señales ilegales (señales falsas o viciadas en la representacion) de los switches (conmutador) electromecanicos, y actualmente es usado para facilitar la correccion de errores en los sistemas de comunicaciones, tales como algunos sistemas de television por cable y television digital terrestre.
